Définition On appelle trinôme du second degré toute fonction définie sur ℝ par f(x) = ax² + bx + c, où a, b, c sont des réels avec a ≠ 0. Les solutions de l'équation f(x) = 0 s'appellent les racines du trinôme.
La clé de tout le chapitre est la forme canonique. En mettant a en facteur puis en complétant le carré, on montre que tout trinôme s'écrit f(x) = a(x − α)² + β, avec α = −b/(2a) et β = f(α). Cette écriture fait apparaître immédiatement l'extremum : le sommet de la parabole a pour coordonnées (α ; β).
Δ = b² − 4ac | α = −b/(2a) | β = f(α)
Propriété Le nombre Δ = b² − 4ac s'appelle le discriminant du trinôme. Alors :
si Δ > 0, l'équation ax² + bx + c = 0 a deux racines distinctesx₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a) ;
si Δ = 0, elle a une racine doublex₀ = −b/(2a) ;
si Δ < 0, elle n'a aucune racine réelle.
x = (−b ± √Δ)/(2a)
Exemple Résolvons 2x² − 5x − 3 = 0. Ici a = 2, b = −5, c = −3, donc Δ = (−5)² − 4 × 2 × (−3) = 25 + 24 = 49. Comme Δ > 0 et √49 = 7, on obtient x₁ = (5 − 7)/4 = −1/2 et x₂ = (5 + 7)/4 = 3. On vérifie : 2 × 9 − 15 − 3 = 0 et 2 × 0,25 + 2,5 − 3 = 0. La forme canonique est 2(x − 5/4)² − 49/8, car α = 5/4 et f(5/4) = 2 × 25/16 − 25/4 − 3 = −49/8.
Attention Avant de calculer Δ, il faut ramener l'équation à la forme ax² + bx + c = 0. L'équation 3x² + 1 = 5x − 2 s'écrit d'abord 3x² − 5x + 3 = 0 : on trouve alors Δ = 25 − 36 = −11 < 0, aucune solution. Attention aussi aux signes : dans 2x² − 5x − 3, on a b = −5 et c = −3, pas 5 et 3.
II. Factorisation et signe du trinôme
Propriété Si Δ > 0, alors ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Si Δ = 0, alors ax² + bx + c = a(x − x₀)². Si Δ < 0, le trinôme ne se factorise pas dans ℝ.
Propriété (signe) Un trinôme est toujours du signe de a, sauf strictement entre les racines lorsque Δ > 0, où il est du signe de −a. Si Δ ≤ 0, il ne change jamais de signe (il est nul seulement en x₀ si Δ = 0).
La parabole coupe l'axe des abscisses en ses deux racines −1/2 et 3. Comme a = 2 > 0, le trinôme est positif à l'extérieur et négatif entre les racines.
Exemple Résolvons l'inéquation 2x² − 5x − 3 ≤ 0. Les racines sont −1/2 et 3 et a = 2 > 0 : le trinôme est négatif ou nul entre les racines. L'ensemble des solutions est donc [−1/2 ; 3], crochets fermés car l'inégalité est large.
III. Somme, produit et méthode du bac
Propriété Lorsque Δ ≥ 0, la somme et le produit des racines valent S = x₁ + x₂ = −b/a et P = x₁ × x₂ = c/a. Réciproquement, deux nombres de somme S et de produit P sont les racines de X² − SX + P = 0.
Astuce Ces deux formules servent de contrôle immédiat. Pour 2x² − 5x − 3 : S = 5/2 et on a bien 3 + (−1/2) = 5/2 ; P = −3/2 et 3 × (−1/2) = −3/2. Elles permettent aussi de trouver la seconde racine de tête quand on en devine une : si 1 est racine de 3x² − 7x + 4, alors le produit vaut 4/3, donc l'autre racine est 4/3.
Méthode : résoudre une inéquation du second degré
Ramène tout d'un même côté pour obtenir une inéquation de la forme ax² + bx + c comparé à 0, et note la valeur de a.
Calcule Δ = b² − 4ac et conclus sur le nombre de racines.
Si Δ > 0, calcule les deux racines puis dresse le tableau de signes : signe de a à l'extérieur, signe de −a à l'intérieur.
Lis l'ensemble des solutions en respectant le caractère strict ou large de l'inégalité, et vérifie avec une valeur test.
Remarque Certaines équations de degré 4 se ramènent au second degré. Pour x⁴ − 5x² + 4 = 0, on pose X = x², d'où X² − 5X + 4 = 0, Δ = 25 − 16 = 9, X = 1 ou X = 4. Comme x² = 1 ou x² = 4, les solutions sont −2, −1, 1 et 2.
VocabulaireTrinôme : polynôme à trois termes ; discriminant : le nombre Δ qui « discrimine » les cas ; racine : solution de f(x) = 0 ; forme canonique : écriture a(x − α)² + β ; parabole : courbe représentative d'un trinôme.
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Chapitre 2 — Génération d'une suite
Chapitre 3 — Suites arithmétiques
Chapitre 4 — Suites géométriques
Chapitre 5 — Généralités sur les fonctions
Chapitre 6 — Le nombre dérivé
Chapitre 7 — Calculs de dérivées
Chapitre 8 — Dérivation et variations d'une fonction
Chapitre 9 — La fonction exponentielle
Chapitre 10 — Dérivation et résolution de problèmes
Chapitre 11 — Fonctions trigonométriques
Chapitre 12 — Calcul vectoriel dans le plan
Chapitre 13 — Le produit scalaire
Chapitre 14 — Applications du produit scalaire
Chapitre 15 — Vecteur normal à une droite
Chapitre 16 — Cercles et paraboles
Chapitre 17 — Notions de probabilité
Chapitre 18 — Probabilités conditionnelles
Chapitre 19 — Variables aléatoires
Chapitre 20 — Algorithmes et programmation en Python