Définition L'ensemble des nombres réels se note R (on l'écrit aussi ℝ). On peut le représenter par une droite graduée : à chaque point de la droite correspond un nombre réel, et un seul. Un intervalle est un « morceau » de cette droite, formé de tous les nombres compris entre deux bornes.
Propriété Si a et b sont deux réels avec a < b :
• [a ; b] est l'ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b (crochets fermés : les bornes sont prises) ;
• ]a ; b[ est l'ensemble des réels x tels que a < x < b (crochets ouverts : les bornes sont exclues) ;
• on mélange librement : [a ; b[ correspond à a ≤ x < b, et ]a ; b] à a < x ≤ b ;
• [a ; +∞[ correspond à x ≥ a, et ]−∞ ; b] à x ≤ b.
Attention Le symbole +∞ n'est pas un nombre : on ne peut donc jamais l'atteindre. Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert. On écrit ]−∞ ; 4], jamais [−∞ ; 4].
Exemple L'inéquation 2 ≤ x < 9 décrit l'intervalle [2 ; 9[. Le nombre 2 appartient à cet intervalle, le nombre 9 non. Le nombre 8,999 y appartient bien : il n'existe pas de « dernier nombre avant 9 ».
II. Réunion et intersection d'intervalles
Définition L'intersection de deux intervalles, notée ∩, est l'ensemble des nombres qui appartiennent aux deux à la fois. La réunion, notée ∪, est l'ensemble des nombres qui appartiennent à l'un au moins des deux.
Astuce Dessine toujours les deux intervalles l'un au-dessus de l'autre sur une même droite graduée. L'intersection se lit là où les deux traits se superposent ; la réunion, là où il y a au moins un trait.
Exemple Avec I = [−3 ; 4] et J = ]1 ; 7] :
I ∩ J = ]1 ; 4] (il faut être à la fois strictement supérieur à 1 et inférieur ou égal à 4) ;
I ∪ J = [−3 ; 7] (les deux intervalles se chevauchent, la réunion est donc un seul intervalle).
Remarque Une réunion n'est pas toujours un intervalle. Par exemple [0 ; 1] ∪ [5 ; 6] est bien un ensemble de nombres, mais pas un intervalle : il y a un « trou » entre 1 et 5. En revanche [0 ; 3] ∩ [8 ; 9] est vide : on le note ∅.
III. Valeur absolue et distance
Définition La valeur absolue d'un réel x, notée |x|, est sa distance à zéro sur la droite graduée. Elle vaut x si x est positif, et −x si x est négatif. Une valeur absolue est donc toujours positive ou nulle.
|x − a| = distance entre les nombres x et a
Exemple |−7| = 7 et |7| = 7. La distance entre 3 et 11 vaut |3 − 11| = |−8| = 8. On obtient bien sûr le même résultat avec |11 − 3| = 8 : la distance ne dépend pas de l'ordre.
Propriété Soit a un réel et r un réel positif. Dire que |x − a| ≤ r, c'est dire que x est à une distance au plus r de a. Autrement dit :
|x − a| ≤ r ⟺ x ∈ [a − r ; a + r]
Méthode : passer d'un intervalle à une valeur absolue
Repère les deux bornes de l'intervalle, par exemple −2 et 8.
Calcule le centre : c'est la moyenne des bornes, (−2 + 8) ÷ 2 = 3.
Calcule le rayon : c'est la demi-longueur, (8 − (−2)) ÷ 2 = 5.
Conclus : [−2 ; 8] est l'ensemble des x tels que |x − 3| ≤ 5.
L'intervalle [−2 ; 8] vu comme l'ensemble des nombres situés à une distance d'au plus 5 du nombre 3.
Vocabulaireborne : nombre situé à l'extrémité d'un intervalle ; crochet fermé : la borne fait partie de l'intervalle ; crochet ouvert : la borne est exclue ; amplitude : longueur de l'intervalle, soit b − a pour [a ; b].
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Chapitre 2 — Racines carrées et puissances
Chapitre 3 — Calcul littéral et identités remarquables
Chapitre 4 — Équations et inéquations du premier degré
Chapitre 5 — Multiples, diviseurs et nombres premiers
Chapitre 6 — Les ensembles de nombres
Chapitre 7 — Repérage dans le plan et calcul de distances
Chapitre 8 — Les vecteurs du plan
Chapitre 9 — Colinéarité et alignement
Chapitre 10 — Équations de droites et systèmes
Chapitre 11 — La notion de fonction : image, antécédent, courbe
Chapitre 12 — Variations, tableaux de signes et fonctions de référence
Chapitre 13 — Proportions, pourcentages et taux d'évolution
Chapitre 14 — Statistiques descriptives et probabilités
Chapitre 15 — Algorithmique et programmation en Python