Définition Un nombre entier est premier lorsqu'il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les premiers d'entre eux sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Attention : 1 n'est pas premier, car il n'a qu'un seul diviseur ; 2 est le seul nombre premier pair.
Méthode : 91 est-il premier ?
Cherche les diviseurs premiers en partant du plus petit : 2, 3, 5, 7, 11...
91 n'est pas pair, donc 2 ne le divise pas. La somme de ses chiffres vaut 9 + 1 = 10, qui n'est pas dans la table de 3 : 3 ne le divise pas non plus. Il ne finit ni par 0 ni par 5, donc 5 est écarté.
Essaie 7 : 91 ÷ 7 = 13, division exacte.
Conclus : 91 admet 7 et 13 comme diviseurs, il n'est donc pas premier.
Astuce Inutile de tester tous les nombres : il suffit de s'arrêter quand le carré du diviseur testé dépasse le nombre. Pour 91, on s'arrêterait à 9, car 10 × 10 = 100 dépasse déjà 91.
II. Décomposer en produit de facteurs premiers
Propriété Tout entier supérieur ou égal à 2 s'écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique si l'on range les facteurs dans l'ordre croissant. C'est la carte d'identité du nombre.
On divise par le plus petit nombre premier possible, encore et encore, jusqu'à obtenir 1.
III. Rendre une fraction irréductible
Méthode : simplifier 360/108
Décompose le numérateur : 360 = 2³ × 3² × 5.
Décompose le dénominateur : 108 = 2² × 3³.
Simplifie les facteurs communs : 2² et 3² apparaissent en haut comme en bas.
Il reste 2 × 5 = 10 au numérateur et 3 au dénominateur.
Conclus : 360/108 = 10/3, qui est irréductible car 10 et 3 n'ont aucun diviseur commun autre que 1.
Lexique
nombre premier
entier ayant exactement deux diviseurs
décomposition
écriture d'un entier comme produit de nombres premiers
fraction irréductible
fraction qu'on ne peut plus simplifier
premiers entre eux
deux entiers dont le seul diviseur commun est 1
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Chapitre 2 — Fractions et nombres rationnels
Chapitre 3 — Les puissances d'un nombre
Chapitre 4 — Les puissances de dix et la notation scientifique
Chapitre 5 — Le calcul littéral
Chapitre 6 — Résoudre une équation
Chapitre 7 — Les pourcentages
Chapitre 8 — Représenter et traiter des données
Chapitre 9 — Les probabilités : premières notions
Chapitre 10 — Les probabilités : expériences à deux épreuves
Chapitre 11 — La notion de fonction
Chapitre 12 — Les fonctions linéaires
Chapitre 13 — Les fonctions affines
Chapitre 14 — Le théorème de Pythagore
Chapitre 15 — Le théorème de Thalès
Chapitre 16 — La réciproque du théorème de Thalès
Chapitre 17 — Symétries et translations
Chapitre 18 — Les rotations
Chapitre 19 — Les homothéties
Chapitre 20 — La trigonométrie : les trois rapports
Chapitre 21 — La trigonométrie : calculer une longueur ou un angle