Définition Une suite (un) admet pour limite le réel L lorsque, pour tout intervalle ouvert contenant L, aussi petit soit-il, tous les termes de la suite appartiennent à cet intervalle à partir d'un certain rang. On note alors limn→+∞un = L, et la suite est dite convergente. Une suite qui n'admet pas de limite finie est dite divergente ; elle peut tendre vers +∞, vers −∞, ou n'avoir aucune limite.
∀ε > 0, ∃n₀ ∈ ℕ, ∀n ≥ n₀ : |un − L| < ε
Remarque Cette écriture quantifiée est la traduction rigoureuse de la définition : quelle que soit la marge d'erreur ε que l'on s'autorise, on peut toujours trouver un rang n₀ au-delà duquel tous les termes restent à une distance de L inférieure à ε. Une suite tend vers +∞ si, pour tout réel A, on a un > A à partir d'un certain rang.
Exemple Soit un = (2n + 1)/(n + 3). On calcule u₀ = 1/3, u₁₀ = 21/13 ≈ 1,615, u₁₀₀ ≈ 1,951 et u₁ ₀₀₀ ≈ 1,995 : les termes semblent se rapprocher de 2. En écrivant un = 2 − 5/(n + 3), on voit que 5/(n + 3) tend vers 0 quand n tend vers +∞, donc limn→+∞ un = 2.
II. Suites monotones et convergence : une démonstration par récurrence
Propriété (admise) Toute suite croissante et majorée converge vers une limite finie L, qui vérifie L ≤ M pour tout majorant M. De même, toute suite décroissante et minorée converge.
Méthode : démontrer la convergence d'une suite récurrente
Démontre par récurrence que la suite est majorée (ou minorée) par la valeur candidate à la limite.
Démontre par récurrence, ou en étudiant le signe de un+1 − un, qu'elle est monotone.
Conclus à la convergence grâce au théorème de la limite monotone.
Détermine la valeur exacte de la limite en résolvant l'équation du point fixe L = f(L).
Exemple Soit (un) définie par u₀ = 1 et un+1 = 0,5un + 3. Démontrons par récurrence que pour tout n, 1 ≤ un ≤ 6. Initialisation : u₀ = 1, la propriété est vraie. Hérédité : supposons 1 ≤ un ≤ 6 ; alors 0,5 ≤ 0,5un ≤ 3, donc 3,5 ≤ un+1 ≤ 6, ce qui entraîne bien 1 ≤ un+1 ≤ 6. La propriété est héréditaire, donc vraie pour tout n. De plus un+1 − un = 3 − 0,5un ≥ 3 − 3 = 0 puisque un ≤ 6 : la suite est croissante. Croissante et majorée par 6, elle converge vers une limite L qui vérifie L = 0,5L + 3, soit L = 6. Les calculs (1 ; 3,5 ; 4,75 ; 5,375 ; 5,6875…) confirment cette approche de 6.
La suite croît en se rapprochant de sa limite 6 sans jamais l'atteindre : c'est le théorème de la limite monotone.
III. Limites de référence
Propriété limn→+∞n = +∞, limn→+∞n² = +∞, limn→+∞ √n = +∞, et plus généralement limn→+∞np = +∞ pour tout entier p ≥ 1. Ces limites usuelles servent de point de départ à tous les calculs du chapitre suivant.
Attention Une suite divergente n'est pas forcément « infinie ». La suite un = (−1)n prend alternativement les valeurs 1 et −1 : elle est bornée mais n'a pas de limite, ni finie ni infinie. Ne confonds jamais « diverge » et « tend vers l'infini ».
VocabulaireConvergente : qui admet une limite finie ; divergente : qui n'admet pas de limite finie ; majorée : bornée supérieurement ; point fixe : réel L tel que f(L) = L, candidat naturel à la limite d'une suite un+1 = f(un).
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Chapitre 2 — Opérations sur les limites
Chapitre 3 — Dérivation et fonctions composées
Chapitre 4 — Convexité
Chapitre 5 — Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
Chapitre 6 — Fonction logarithme népérien
Chapitre 7 — Fonctions trigonométriques
Chapitre 8 — Primitives et équations différentielles
Chapitre 9 — Calcul intégral
Chapitre 10 — Combinatoire et dénombrement
Chapitre 11 — Vecteurs, droites et plans de l'espace
Chapitre 12 — Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace
Chapitre 13 — Configurations de l'espace et représentation paramétrique
Chapitre 14 — Successions d'épreuves indépendantes et loi binomiale
Chapitre 15 — Concentration, loi des grands nombres
Chapitre 16 — Algorithmique et programmation en Python