Maths complémentaires — Classe de terminale
Sommaire du cours
- 1. Suites numériques : limites et comportement
- 2. Limites et dérivées
- 3. Continuité et convexité
- 4. Fonction exponentielle et logarithme népérien
- 5. Équations différentielles
- 6. Primitives et intégrales
- 7. Lois de probabilité discrètes
- 8. Lois à densité
- 9. Statistiques à deux variables et ajustement affine
Chapitre 1 — Suites numériques : limites et comportement
I. Limite finie ou infinie d'une suite
Définition On dit que la suite (un) admet pour limite le réel L lorsque tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs un à partir d'un certain rang. On écrit alors limn→+∞ un = L, et l'on dit que la suite converge. On dit que (un) tend vers +∞ lorsque, pour tout réel A, l'intervalle ]A ; +∞[ contient toutes les valeurs un à partir d'un certain rang (définition analogue pour −∞).
Une suite qui n'admet pas de limite finie est dite divergente : soit elle tend vers +∞ ou −∞, soit elle n'a tout simplement pas de limite, comme la suite un = (−1)n, qui oscille indéfiniment entre −1 et 1.
Exemple Soit un = 3 − 2/n pour n ≥ 1. Quand n devient grand, 2/n se rapproche de 0, donc un se rapproche de 3 : limn→+∞ un = 3. La suite converge vers 3, tout en restant toujours strictement inférieure à 3.
II. Limites usuelles et opérations sur les limites
Les limites des suites se calculent avec les mêmes règles que pour les fonctions : limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient, en étant attentif aux formes indéterminées « +∞ − ∞ », « 0 × ∞ », « ∞/∞ » et « 0/0 », qui imposent de transformer l'écriture avant de conclure.
lim n = +∞ lim √n = +∞ lim 1/n = 0 lim 1/√n = 0
Propriété (suite géométrique) Pour une suite géométrique de raison q : si −1 < q < 1, alors lim qn = 0 ; si q = 1, la suite est constante égale à 1 ; si q > 1, alors lim qn = +∞ ; si q ≤ −1, la suite qn n'a pas de limite.
Exemple Pour un = (2n² + 3n − 1)/(n² + 1), le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers +∞ (forme ∞/∞). On factorise par n² au numérateur et au dénominateur : un = (2 + 3/n − 1/n²)/(1 + 1/n²), qui tend vers 2/1 = 2. La suite converge vers 2.
Remarque Une suite croissante et majorée converge nécessairement (théorème d'existence d'une limite) ; une suite décroissante et minorée converge également. Ce résultat, admis en terminale, garantit l'existence d'une limite avant même de la calculer, ce qui sera très utile au paragraphe suivant.
III. Suites arithmético-géométriques : modéliser une évolution
Définition Une suite définie par une relation de récurrence de la forme un+1 = a un + b (avec a ≠ 1) est dite arithmético-géométrique. Elle modélise de nombreux phénomènes évolutifs : à chaque étape, une grandeur est multipliée par un facteur a puis augmentée (ou diminuée) d'une quantité fixe b.
Méthode : étudier une suite arithmético-géométrique
- Chercher le point fixe l, solution de l'équation l = a l + b, soit l = b/(1 − a).
- Poser vn = un − l et montrer que (vn) est géométrique de raison a.
- En déduire la forme explicite un = (u0 − l)·an + l.
- Étudier la limite de an selon la valeur de a, pour en déduire le comportement de (un).
un = (u₀ − l)·aⁿ + l, avec l = b/(1 − a)
Exemple (pharmacocinétique) Un patient reçoit chaque jour une dose de 50 mg d'un médicament. L'organisme élimine 30 % de la quantité présente entre deux prises : si un désigne la quantité (en mg) juste après la n-ième prise, alors un+1 = 0,7 un + 50, avec u0 = 50. Le point fixe est l = 50/(1 − 0,7) = 500/3 ≈ 166,7 mg. On a donc un = (50 − 500/3)×0,7n + 500/3. Comme −1 < 0,7 < 1, 0,7n tend vers 0, donc (un) converge vers 500/3 ≈ 166,7 mg : la quantité de médicament dans le sang se stabilise, à long terme, autour d'un palier, appelé état d'équilibre. On calcule par exemple u3 = 126,65 mg et u6 ≈ 152,9 mg.
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- Chapitre 2 — Limites et dérivées
- Chapitre 3 — Continuité et convexité
- Chapitre 4 — Fonction exponentielle et logarithme népérien
- Chapitre 5 — Équations différentielles
- Chapitre 6 — Primitives et intégrales
- Chapitre 7 — Lois de probabilité discrètes
- Chapitre 8 — Lois à densité
- Chapitre 9 — Statistiques à deux variables et ajustement affine