Maths expertes — Classe de terminale
Sommaire du cours
- 1. Forme algébrique d'un nombre complexe
- 2. Forme trigonométrique et forme exponentielle
- 3. Équations polynomiales dans ℂ
- 4. Nombres complexes et géométrie
- 5. Divisibilité et congruences
- 6. PGCD, théorème de Bézout et applications
- 7. Nombres premiers
- 8. Notion de matrice et calcul matriciel
- 9. Notion de graphe et matrice d'adjacence
- 10. Chaînes de Markov
Chapitre 1 — Forme algébrique d'un nombre complexe
I. L'ensemble ℂ des nombres complexes
Définition On admet l'existence d'un ensemble ℂ, appelé ensemble des nombres complexes, qui contient ℝ, dans lequel on peut additionner et multiplier en conservant les règles de calcul usuelles, et qui contient un nombre noté i vérifiant i² = −1. Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique sous la forme z = a + bi, avec a et b réels : c'est la forme algébrique de z. Le réel a est la partie réelle de z, notée Re(z) ; le réel b est la partie imaginaire de z, notée Im(z) — c'est un réel, à ne pas confondre avec bi.
Lorsque Im(z) = 0, le nombre z est réel : on a bien ℝ ⊂ ℂ. Lorsque Re(z) = 0 et Im(z) ≠ 0, z est appelé imaginaire pur. L'unicité de l'écriture algébrique fournit la propriété fondamentale suivante, utilisée dans presque tous les exercices d'identification.
Propriété Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. En particulier, a + bi = 0 équivaut à a = 0 et b = 0.
Attention Il n'existe aucune relation d'ordre compatible avec les opérations sur ℂ : des écritures comme « z < 0 » ou « z1 < z2 » n'ont aucun sens pour des complexes non réels. Deux complexes ne se comparent que par égalité.
II. Opérations et conjugué
On additionne et on multiplie deux complexes comme des expressions algébriques usuelles, en remplaçant systématiquement i² par −1 à chaque fois qu'il apparaît. Le conjugué de z = a + bi est le nombre z̄ = a − bi, qui se lit « z barre ».
z + z̄ = 2 Re(z) z − z̄ = 2i·Im(z) z·z̄ = a² + b²
Propriété Pour tous complexes z, z′ : (z+z′)‾ = z̄+z̄′ ; (zz′)‾ = z̄·z̄′ ; (1/z)‾ = 1/z̄ si z ≠ 0 ; z est réel si et seulement si z = z̄ ; z est imaginaire pur si et seulement si z = −z̄.
Exemple Calculons le produit (2 + 3i)(1 − 2i). En développant : 2×1 + 2×(−2i) + 3i×1 + 3i×(−2i) = 2 − 4i + 3i − 6i² = 2 − i + 6, puisque i² = −1. On obtient donc (2 + 3i)(1 − 2i) = 8 − i.
Méthode : mettre un quotient sous forme algébrique
- Repérer le dénominateur z′ = c + di et écrire son conjugué z̄′ = c − di.
- Multiplier le numérateur et le dénominateur par ce conjugué.
- Développer le dénominateur : le produit z′·z̄′ = c² + d² est un réel strictement positif.
- Développer le numérateur, puis diviser séparément la partie réelle et la partie imaginaire par ce réel.
Exemple Mettons Z = (3 + i)/(1 − 2i) sous forme algébrique. On multiplie par le conjugué 1 + 2i du dénominateur : Z = (3+i)(1+2i) / [(1−2i)(1+2i)] = (3 + 6i + i + 2i²) / (1 + 4) = (3 + 7i − 2)/5 = (1 + 7i)/5. Donc Z = 0,2 + 1,4i.
III. Module d'un nombre complexe
Définition Le module de z = a + bi est le réel positif |z| = √(a² + b²) = √(z·z̄). Lorsque z est réel, |z| coïncide avec la valeur absolue habituelle : le module généralise donc, au plan complexe, la distance à zéro sur la droite réelle.
|z|² = z·z̄ |zz′| = |z|·|z′| |z/z′| = |z|/|z′| (z′ ≠ 0) |z̄| = |z|
Exemple Pour z = 3 − 4i, on a |z| = √(3² + (−4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5. On vérifie : z·z̄ = (3 − 4i)(3 + 4i) = 9 − 16i² = 9 + 16 = 25 = |z|².
Remarque Le plan complexe, ou plan d'Argand, associe à tout point M(a;b) le nombre z = a + bi, appelé affixe de M. Le point d'affixe z̄ est le symétrique de M par rapport à l'axe des réels : cette lecture géométrique du conjugué et du module sera développée au chapitre 4.
🔒
9 chapitres font partie de l'abonnement
Le premier chapitre de chaque matière reste accessible gratuitement. L'inscription ouvre 7 jours d'accès complet, sans engagement.
- Chapitre 2 — Forme trigonométrique et forme exponentielle
- Chapitre 3 — Équations polynomiales dans ℂ
- Chapitre 4 — Nombres complexes et géométrie
- Chapitre 5 — Divisibilité et congruences
- Chapitre 6 — PGCD, théorème de Bézout et applications
- Chapitre 7 — Nombres premiers
- Chapitre 8 — Notion de matrice et calcul matriciel
- Chapitre 9 — Notion de graphe et matrice d'adjacence
- Chapitre 10 — Chaînes de Markov