Chapitre 1 — Automatismes de calcul : fractions, puissances, pourcentages
I. Fractions : additionner, multiplier, diviser
Définition Une fraction a/b, avec b non nul, représente le résultat de la division de a par b. Pour additionner ou soustraire deux fractions, on les réduit d'abord au même dénominateur : on choisit un multiple commun des deux dénominateurs (le plus simple étant leur plus petit multiple commun), puis on additionne les numérateurs.
Exemple Calculons 5/12 + 7/18. Les dénominateurs 12 et 18 ont pour plus petit multiple commun 36 (12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², donc le PPCM vaut 2² × 3² = 36). On écrit 5/12 = 15/36 et 7/18 = 14/36, donc 5/12 + 7/18 = 15/36 + 14/36 = 29/36. Cette fraction est déjà irréductible, car 29 est un nombre premier qui ne divise pas 36.
Attention On n'additionne jamais deux fractions en ajoutant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Par exemple, 1/2 + 1/2 ne vaut pas 2/4 = 1/2 : cette méthode donnerait un résultat absurde, puisque la moitié d'un gâteau plus la moitié du même gâteau redonne un gâteau entier, soit 1, et non 1/2.
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux, puis on simplifie : 2/3 × 9/16 = (2×9)/(3×16) = 18/48 = 3/8 après simplification par 6. Pour diviser une fraction par une autre, on multiplie la première par l'inverse de la seconde : 3/4 ÷ 5/6 = 3/4 × 6/5 = 18/20 = 9/10.
Astuce Avant de multiplier deux fractions, cherche à simplifier en croix (un facteur commun entre un numérateur et un dénominateur) : les calculs restent avec des nombres plus petits et le risque d'erreur diminue.
Vocabulaire Numérateur : le nombre du dessus, qui compte les parts prises ; dénominateur : le nombre du dessous, qui indique en combien de parts égales l'unité est partagée ; fraction irréductible : fraction que l'on ne peut plus simplifier.
II. Puissances et notation scientifique
Propriété Pour tout nombre a non nul et tous entiers relatifs m et n : a^m × a^n = a^(m+n) ; (a^m)^n = a^(m×n) ; a^m / a^n = a^(m-n) ; a^0 = 1 ; a^(-n) = 1/a^n.
Exemple (2^3)^2 = 2^6 = 64, ce que l'on peut vérifier directement : 2^3 = 8, et 8^2 = 64. De même, 2^(-3) = 1/2^3 = 1/8 = 0,125 : un exposant négatif ne rend pas le résultat négatif, il indique un inverse.
Définition La notation scientifique d'un nombre s'écrit a × 10^n, où a est un nombre décimal vérifiant 1 ≤ a < 10, et n est un entier relatif. Elle permet de manipuler facilement des nombres très grands (distances astronomiques, population mondiale) ou très petits (taille d'une cellule, épaisseur d'un cheveu).
Méthode : calculer avec des nombres en notation scientifique
- Repère les coefficients (entre 1 et 10) et les puissances de 10 de chaque nombre.
- Effectue le calcul demandé séparément sur les coefficients, puis sur les puissances de 10 (on additionne les exposants pour une multiplication).
- Recombine les deux résultats obtenus.
- Si le coefficient obtenu n'est plus compris entre 1 et 10, ajusté-le en modifiant l'exposant en conséquence.
Exemple On calcule (2,5 × 10³) × (4 × 10⁻⁵). On multiplie les coefficients : 2,5 × 4 = 10. On additionne les exposants : 3 + (-5) = -2, donc 10 × 10⁻² = 10¹ × 10⁻² = 10⁻¹ = 0,1. On retrouve bien ce résultat directement : 2 500 × 0,00004 = 0,1.
III. Pourcentages : calculer, retrouver une valeur initiale
t % d'une quantité V = (t/100) × V
Exemple 15 % de 340 se calcule ainsi : (15/100) × 340 = 0,15 × 340 = 51. Autrement dit, sur 340 élèves d'un lycée, 51 correspondent à 15 % de l'effectif.
Pour retrouver une valeur initiale V0 connaissant la valeur finale Vf après une baisse de t % : V0 = Vf / (1 - t/100)
Exemple Un vélo est affiché à 84 € après une remise de 30 %. On a Vf = 84 et t = 30, donc 1 - t/100 = 0,7. Ainsi V0 = 84 / 0,7 = 120. Le vélo coûtait 120 € avant la promotion. On vérifie : 120 × (1 - 0,30) = 120 × 0,7 = 84, ce qui confirme le calcul.
Remarque Pour une hausse de t %, la formule se transforme naturellement : V0 = Vf / (1 + t/100), puisqu'une hausse revient à multiplier par (1 + t/100) au lieu de (1 - t/100).