Au programme de ce chapitre
- I. Fractions : additionner, multiplier, diviser
- II. Puissances et notation scientifique
- III. Pourcentages : calculer, retrouver une valeur initiale
- Méthodes et pièges à éviter
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
La définition à retenir
Définition Une fraction ab, avec b non nul, représente le résultat de la division de a par b. Pour additionner ou soustraire deux fractions, on les réduit d'abord au même dénominateur : on choisit un multiple commun des deux dénominateurs (le plus simple étant leur plus petit multiple commun), puis on additionne les numérateurs.
Un exemple corrigé
Exemple Calculons 512 + 718. Les dénominateurs 12 et 18 ont pour plus petit multiple commun 36 (12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², donc le PPCM vaut 2² × 3² = 36). On écrit 512 = 1536 et 718 = 1436, donc 512 + 718 = 1536 + 1436 = 2936. Cette fraction est déjà irréductible, car 29 est un nombre premier qui ne divise pas 36.
L'essentiel à retenir
- Diviser par une fraction = multiplier par l'inverse.
- am×an = am+n, (am)n = amn, a−n = 1/an.
- Augmenter de t % : ×(1+t100) ; diminuer : ×(1−t/100).
- Évolutions successives : on multiplie les coefficients (jamais on additionne les taux).
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — additionner des puissances. am+an ne se simplifie pas. Les règles d'exposants concernent les produits et quotients, pas les sommes.
Piège — ajouter des pourcentages. +20 % puis +30 % ne font pas +50 % : 1,2×1,3 = 1,56, soit +56 %.
Attention On n'additionne jamais deux fractions en ajoutant les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Par exemple, 12 + 12 ne vaut pas 24 = 12 : cette méthode donnerait un résultat absurde, puisque la moitié d'un gâteau plus la moitié du même gâteau redonne un gâteau entier, soit 1, et non 12.
L'astuce du prof
Astuce Avant de multiplier deux fractions, cherche à simplifier en croix (un facteur commun entre un numérateur et un dénominateur) : les calculs restent avec des nombres plus petits et le risque d'erreur diminue.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Fractions
Calcule 23 + 14 et (35) : (625).
Voir la correction
23 + 14 = 812 + 312 = 1112. (35):(625) = 35 × 256 = 7530 = 52.
Exercice 2 — Puissances
Simplifie 25×2−3 et (103)2/104.
Voir la correction
25×2−3 = 22 = 4. (103)2/104 = 106/104 = 102 = 100.