Au programme de ce chapitre
- I. Définition et lien avec les suites géométriques
- II. Sens de variation d'une fonction exponentielle
- III. Résoudre un problème avec une fonction exponentielle
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une fonction exponentielle de base a (avec a > 0) est une fonction définie, pour tout réel x, par f(x) = k × ax, où k est un nombre réel.
Un exemple corrigé
Exemple La population de bactéries du chapitre précédent peut être modélisée par la fonction f(t) = 200 × 2t, où t est le temps écoulé en heures : f(0) = 200, f(1) = 400, f(2) = 800, ..., f(6) = 12 800, exactement comme les termes de la suite géométrique associée. Mais contrairement à la suite, f est aussi définie pour t = 1,5 ou t = 2,7 heures.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège. e^{a+b} n'est PAS e^a + e^b. L'exponentielle transforme les sommes en produits, pas en sommes.
Attention Sans outil de résolution formelle (le logarithme, qui est hors programme du tronc commun), on ne peut pas « isoler x » dans une équation du type k × ax = seuil : on procède obligatoirement par encadrement, à l'aide d'un tableau de valeurs ou d'une lecture graphique.
L'astuce du prof
Astuce. Pour résoudre une équation avec exp, ramène-toi à exp(A) = exp(B) puis « enlève » exp : A = B (car exp est strictement croissante).
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1
Simplifier e^3 × e^{−1}.
Voir la correction
e^{3+(−1)} = e^{3−1} = e².
Exercice 2
Résoudre l'équation e^{2x} = e^{x+3}.
Voir la correction
exp est strictement croissante donc 2x = x + 3, soit x = 3.