Au programme de ce chapitre
- I. Nombre dérivé : la pente d'une tangente
- II. Équation de la tangente
- III. Signe de la dérivée et tableau de variations
- IV. Un problème concret : optimiser un bénéfice
La définition à retenir
Définition Pour une fonction f et un nombre a, le taux de variation entre a et a + h est (f(a+h) − f(a)) / h. Le nombre dérivé f'(a) est la valeur vers laquelle ce taux se rapproche lorsque h se rapproche de 0. Géométriquement, f'(a) est le coefficient directeur (la pente) de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a.
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Un exemple corrigé
Exemple Pour f(x) = x² − 4x + 3 et a = 5, calculons le taux de variation pour des valeurs de h de plus en plus petites : pour h = 1, on obtient 7 ; pour h = 0,5, on obtient 6,5 ; pour h = 0,1, on obtient environ 6,10 ; pour h = 0,01, on obtient environ 6,01. Le taux se rapproche clairement de 6 : on a donc f'(5) = 6.
Les erreurs fréquentes à éviter
Attention Ne confonds jamais minimum et maximum : le signe de a (le coefficient de x²) donne directement la réponse. Si a > 0, la parabole est tournée vers le haut et le point où f' s'annule est un minimum. Si a < 0, la parabole est tournée vers le bas et ce point est un maximum.
L'astuce du prof
Astuce La tangente en un point donne la meilleure approximation affine de la courbe au voisinage de ce point : pour des valeurs de x très proches de a, les valeurs de f(x) et celles de la tangente sont très proches.