Au programme de ce chapitre
- I. Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
- II. Convexité, concavité et point d'inflexion
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une fonction f est continue sur un intervalle I lorsque sa courbe représentative peut se tracer sur I sans lever le crayon. Toutes les fonctions usuelles (polynômes, racine carrée, exponentielle, logarithme…) sont continues sur leur ensemble de définition.
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Un exemple corrigé
Exemple (équilibre offre-demande) Pour un prix p (en euros) d'un bien, la demande est D(p) = 100/(p+1) et l'offre est O(p) = 5p (en milliers d'unités), continues et strictement monotones sur [0 ; +∞[. La fonction g(p) = D(p) − O(p) est continue et strictement décroissante, avec g(0) = 100 > 0 et g(5) ≈ −8,33 < 0 : le TVI garantit un unique prix d'équilibre entre 0 et 5. En résolvant exactement 100/(p+1) = 5p, on obtient 5p(p+1) = 100, soit p² + p − 20 = 0, dont l'unique racine positive est p = 4. Le prix d'équilibre est donc 4 €, pour une quantité D(4) = O(4) = 20 milliers d'unités.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège. Le TVI donne l'existence d'une solution ; il faut la stricte monotonie pour l'unicité.
L'astuce du prof
Astuce. Convexe : f″ ≥ 0 et courbe au-dessus des tangentes ; concave : l'inverse.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1
Qu'est-ce qu'une fonction continue sur un intervalle ?
Voir la correction
Une fonction dont la courbe se trace sans lever le crayon.
Exercice 2
Énonce le théorème des valeurs intermédiaires.
Voir la correction
Si f continue sur [a;b], pour tout k entre f(a) et f(b), il existe c ∈ [a;b] tel que f(c) = k.