Au programme de ce chapitre
- I. Variable aléatoire à densité et loi uniforme
- II. Loi exponentielle : durée de vie sans vieillissement
- III. Loi normale : modéliser une grandeur autour d'une moyenne
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une variable aléatoire X à valeurs dans un intervalle I suit une loi à densité de fonction f lorsque f est continue, positive sur I, d'aire totale 1, et que pour tous réels a ≤ b de I : P(a≤X≤b) = ∫ab f(x) dx. La loi uniforme sur [a ; b] a pour densité f(x) = 1/(b−a), et son espérance vaut E(X) = (a+b)/2.
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Un exemple corrigé
Exemple Un bus passe toutes les 15 minutes ; l'attente X d'un usager arrivant au hasard suit la loi uniforme sur [0 ; 15]. Son espérance est E(X) = 7,5 minutes, et P(X>10) = (15−10)/15 = 1/3.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège. Pour une loi continue, une probabilité ponctuelle est nulle : on raisonne sur des intervalles, pas des valeurs isolées.
L'astuce du prof
Astuce. Relie proba et aire : P(a ≤ X ≤ b) est l'aire sous la densité ; l'aire totale vaut 1.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1
Pour une loi continue, comment calcule-t-on P(a ≤ X ≤ b) ?
Voir la correction
Par l'intégrale de la densité : ∫_a^b f(x) dx (l'aire sous la courbe entre a et b).
Exercice 2
Que vaut P(X = c) pour une loi à densité ?
Voir la correction
0 : la probabilité d'une valeur unique est nulle pour une loi continue.