Au programme de ce chapitre
- I. Primitives d'une fonction continue
- II. Intégrale d'une fonction continue et lien avec les primitives
- III. Calcul d'aires et applications
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une fonction F, dérivable sur I, est une primitive de f sur I lorsque F′ = f sur I. Deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante.
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Un exemple corrigé
Exemple Cherchons la primitive F de f(x) = 6x² − 4x + 3 qui s'annule en x = 1. Une primitive générale est F(x) = 2x³ − 2x² + 3x + C. La condition F(1) = 0 donne 2 − 2 + 3 + C = 0, soit C = −3. Ainsi F(x) = 2x³ − 2x² + 3x − 3.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège. Ne pas oublier la constante + C quand on donne une primitive « générale ». En revanche, pour une intégrale définie, elle disparaît.
L'astuce du prof
Astuce. Pour vérifier une primitive, dérive-la : tu dois retrouver f. C'est le contrôle le plus sûr.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1
Déterminer une primitive de f(x) = 3x² + 2.
Voir la correction
Une primitive de 3x² est x³, de 2 est 2x. Donc F(x) = x³ + 2x + C.
Exercice 2
Calculer ∫_0^2 (2x) dx.
Voir la correction
Une primitive de 2x est x². Donc ∫_0^2 2x dx = [x²]_0^2 = 2² − 0² = 4.