Au programme de ce chapitre
- I. Limite finie ou infinie d'une suite
- II. Limites usuelles et opérations sur les limites
- III. Suites arithmético-géométriques : modéliser une évolution
- Méthodes et pièges à éviter
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
La définition à retenir
Définition On dit que la suite (un) admet pour limite le réel L lorsque tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs un à partir d'un certain rang. On écrit alors limn→+∞ un = L, et l'on dit que la suite converge. On dit que (un) tend vers +∞ lorsque, pour tout réel A, l'intervalle ]A ; +∞[ contient toutes les valeurs un à partir d'un certain rang (définition analogue pour −∞).
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L'essentiel à retenir
- Converger = s'approcher d'une limite finie ; sinon diverger.
- un = u0×qn : limite 0 si |q| < 1, +∞ si q > 1.
- Évolution de t % → raison q = 1 + t/100 (hausse) ou 1 − t/100 (baisse).
- ∞/∞ : forme indéterminée, on factorise par le terme dominant.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — taux et raison. Une baisse de 10 % donne q = 0,9 (et non 0,1) ; une hausse de 10 % donne q = 1,1.
Piège — forme indéterminée. Pour un quotient de polynômes, ∞/∞ se lève en factorisant par la plus haute puissance de n.
À ne pas confondre
- Converger (limite finie) et diverger (vers ±∞, ou sans limite du tout).
- Une forme indéterminée (∞−∞, 0×∞, ∞/∞) ne se conclut jamais directement : il faut transformer l'expression.
L'astuce du prof
Astuce Pour une suite du type polynôme/polynôme, factorise par le terme de plus haut degré.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Limite d'un quotient
Limite de un = 2n + 3n + 1.
Voir la correction
Je factorise par n : 2 + 3n1 + 1n → 21 = 2. La suite converge vers 2.
Exercice 2 — Modèle d'évolution
Une population diminue de 10 % par an : Pn+1 = 0,9×Pn, avec P0 = 5000. Que devient Pn ?
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Pn = 5000×(0,9)n. Comme 0 < 0,9 < 1, (0,9)n → 0 : la population tend vers 0 à long terme.