Au programme de ce chapitre
- I. Équation différentielle y′ = ay
- II. Équation différentielle y′ = ay + b
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction, reliant cette fonction à une ou plusieurs de ses dérivées. Une solution est une fonction dérivable qui vérifie l'égalité pour tout réel de son intervalle de définition.
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Un exemple corrigé
Exemple Une population de 1 000 individus croît en continu selon y′ = 0,05y, avec y(0) = 1 000. L'unique solution est y(t) = 1 000 e0,05t. Le temps de doublement vérifie e0,05T = 2, soit T = ln 2 / 0,05 ≈ 13,86 années.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège. N'oublie pas le terme − b/a pour y′ = ay + b (solution particulière).
L'astuce du prof
Astuce. La constante C se détermine avec une condition initiale (y(0) donné).
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1
Qu'est-ce qu'une équation différentielle ?
Voir la correction
Une équation dont l'inconnue est une fonction, reliée à ses dérivées.
Exercice 2
Quelles sont les solutions de y′ = ay ?
Voir la correction
Les fonctions x ↦ C·e^(ax).