Au programme de ce chapitre
- 1. Limite finie : les suites convergentes
- 2. Limite infinie : divergence
- 3. Suites géométriques et comparaison
- Méthodes et pièges à éviter
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
La définition à retenir
Définition — Suite convergente. La suite (un) converge vers le réel ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note alors lim un = ℓ (ou un → ℓ), et l'on dit que (un) est convergente. Une suite qui n'est pas convergente est dite divergente.
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L'essentiel à retenir
- Limites de référence : 1n, 1n² → 0 ; n, n², √n → +∞.
- qn : → 0 si |q| < 1, → +∞ si q > 1.
- Formes indéterminées : ∞−∞, 0×∞, ∞/∞, 00 → factoriser / simplifier.
- Gendarmes et comparaison : on encadre pour conclure ; toute suite croissante majorée converge.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — « conclure » sur une forme indéterminée. ∞/∞ ou ∞−∞ ne donnent aucune réponse directe : il faut factoriser par le terme dominant avant de conclure.
Piège — croissance et limite. Croissante n'implique pas divergente. Une suite croissante majorée converge (elle « bute » sous son majorant).
Trois pièges à éviter.
- Convergente = limite finie. Une suite qui tend vers +∞ (comme un = n²) n'est pas convergente : elle diverge.
- Bornée n'entraîne pas convergente. Contre-exemple : un = (−1)n donne 1 ; −1 ; 1 ; −1 ; … Elle reste entre −1 et 1 (bornée) mais n'a pas de limite : elle saute sans se fixer.
- « Se rapprocher au début » ne suffit pas. Il faut que tous les termes restent proches de ℓ à partir d'un certain rang, et pour toujours.
L'astuce du prof
À retenir en une phrase. « (un) converge vers ℓ » signifie : la distance |un − ℓ| devient, et reste, aussi petite qu'on veut quand n → +∞.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Limite d'un quotient de polynômes
Détermine la limite de un = 3n² + 1n² − 2n.
Voir la correction
Forme ∞/∞. Je factorise par n² : 3 + 1n²1 − 2n → 31 = 3.
Exercice 2 — Différence (FI ∞ − ∞)
Limite de vn = n² − 5n.
Voir la correction
Je factorise : n²(1 − 5n). Comme n² → +∞ et (1 − 5n) → 1 > 0, le produit → +∞.