Au programme de ce chapitre
- I. La fonction exponentielle
- II. La fonction logarithme népérien
- III. Croissances comparées et résolution d'équations
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition La fonction exponentielle, notée exp ou x ↦ ex, est l'unique fonction dérivable sur ℝ telle que f′ = f et f(0) = 1. Elle est strictement positive et strictement croissante sur ℝ, avec e0 = 1 et e = e1 ≈ 2,718.
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Un exemple corrigé
Exemple (croissance continue) Une culture de bactéries compte 500 individus à l'instant t = 0 et croît en continu au taux relatif de 30 % par heure : son effectif est modélisé par N(t) = 500 e0,3t. Au bout de 5 heures, N(5) = 500 e1,5 ≈ 2 241 bactéries. Le temps de doublement T vérifie e0,3T = 2, soit T = ln 2 / 0,3 ≈ 2,31 heures.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège. exp et ln sont réciproques : ln(e^x) = x et e^(ln x) = x (x > 0).
L'astuce du prof
Astuce. La propriété clé de exp : sa dérivée est elle-même (f′ = f).
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1
Comment est définie l'exponentielle ?
Voir la correction
L'unique fonction dérivable avec f′ = f et f(0) = 1.
Exercice 2
Limites de exp en −∞ et +∞ ?
Voir la correction
0 en −∞ ; +∞ en +∞.