Au programme de ce chapitre
- I. L'ensemble ℂ des nombres complexes
- II. Opérations et conjugué
- III. Module d'un nombre complexe
- Méthodes et pièges à éviter
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
🔒 Infographie récapitulative du chapitreIncluse dans le cours complet, avec la méthode et les exercices corrigés.La voir gratuitement pendant 7 jours
Un exemple corrigé
Exemple Calculons le produit (2 + 3i)(1 − 2i). En développant : 2×1 + 2×(−2i) + 3i×1 + 3i×(−2i) = 2 − 4i + 3i − 6i² = 2 − i + 6, puisque i² = −1. On obtient donc (2 + 3i)(1 − 2i) = 8 − i.
L'essentiel à retenir
- z = a + ib, i² = −1 ; Re(z) = a, Im(z) = b (des réels).
- z̄ = a − ib ; |z| = √(a² + b²) ; z×z̄ = |z|².
- Quotient : on multiplie par le conjugué du dénominateur.
- Puissances de i : cycle i, −1, −i, 1 de période 4.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — i² = −1. C'est la règle qui change tout : à chaque fois que i² apparaît dans un développement, je le remplace par −1.
Piège — parties réelle et imaginaire. Re(z) et Im(z) sont des réels : dans a + ib, Im(z) = b, sans le i.
Attention Il n'existe aucune relation d'ordre compatible avec les opérations sur ℂ : des écritures comme « z < 0 » ou « z1 < z2 » n'ont aucun sens pour des complexes non réels. Deux complexes ne se comparent que par égalité.
L'astuce du prof
Astuce z réel ⟺ Im(z) = 0 ; z imaginaire pur ⟺ Re(z) = 0 (et z ≠ 0).
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Produit
Calcule (2 + 3i)(1 − i).
Voir la correction
= 2 − 2i + 3i − 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i (car i² = −1).
Exercice 2 — Conjugué et module
Donne le conjugué et le module de z = 3 − 4i.
Voir la correction
z̄ = 3 + 4i ; |z| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5.