Au programme de ce chapitre
- I. Limites de fonctions et asymptotes
- II. Nombre dérivé et fonction dérivée
- III. Signe de la dérivée et sens de variation
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Si limx→+∞ f(x) = L (réel), la droite d'équation y = L est une asymptote horizontale à la courbe de f en +∞. Si limx→a f(x) = +∞ ou −∞, la droite x = a est une asymptote verticale.
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Un exemple corrigé
Exemple Pour f(x) = 2x² + 3x − 1x² + 1, le même calcul qu'au chapitre 1 donne limx→+∞ f(x) = 2 : la droite y = 2 est asymptote horizontale à la courbe. Pour g(x) = √(x² + 1) − x, on lève la forme indéterminée « ∞ − ∞ » en multipliant par la quantité conjuguée : g(x) = 1√(x²+1) + x, qui tend vers 0 quand x → +∞.
L'essentiel à retenir
- f′(a) = pente de la tangente ; tangente : y = f′(a)(x − a) + f(a).
- Dérivées usuelles : (xn)′ = n xn−1, (ex)′ = ex, (ln x)′ = 1x.
- Signe de f′ → variations de f ; changement de signe → extremum.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — confondre f(a) et f′(a). f(a) est l'ordonnée du point ; f′(a) est la pente de la tangente. Les deux servent dans l'équation de la tangente.
Piège — oublier de justifier un extremum. Un extremum apparaît là où f′ change de signe, pas seulement là où f′ s'annule.
Attention « Coût marginal croissant » ne signifie pas « coût total qui diminue » : C reste croissante tant que C′ > 0, même lorsque C′ elle-même croît (le coût augmente alors de plus en plus vite, ce que l'on précisera au chapitre suivant avec la convexité).
L'astuce du prof
Astuce Face à une forme « ∞ − ∞ » contenant une racine carrée, on pense presque toujours à multiplier par la quantité conjuguée pour faire apparaître une différence de carrés au numérateur.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Nombre dérivé
Soit f(x) = x². Calcule f′(x) puis f′(3).
Voir la correction
f′(x) = 2x, donc f′(3) = 6 : la tangente en x = 3 a pour pente 6.
Exercice 2 — Tangente
Pour f(x) = x², donne l'équation de la tangente en a = 1.
Voir la correction
f(1) = 1, f′(1) = 2. Tangente : y = 2(x − 1) + 1 = 2x − 1.