Au programme de ce chapitre
- I. Variable aléatoire discrète, espérance et variance
- II. Loi binomiale : rappels et applications
- III. Espérance et prise de décision : l'exemple de l'assurance
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Une variable aléatoire X associe un nombre réel à chaque issue d'une expérience aléatoire. Sa loi de probabilité précise, pour chaque valeur xi prise par X, la probabilité pi = P(X=xi), avec Σpi = 1.
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Un exemple corrigé
Exemple Un jeu rapporte −2 € avec probabilité 0,5, +1 € avec probabilité 0,3 et +10 € avec probabilité 0,2 (on vérifie 0,5+0,3+0,2 = 1). Le gain moyen est E(X) = −2×0,5 + 1×0,3 + 10×0,2 = −1 + 0,3 + 2 = 1,3 €. On calcule E(X²) = 4×0,5 + 1×0,3 + 100×0,2 = 22,3, d'où V(X) = 22,3 − 1,3² = 20,61 et σ(X) ≈ 4,54 €. Le jeu est favorable en moyenne au joueur (E(X) > 0), mais le résultat d'une partie reste très dispersé autour de cette moyenne.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège. Pour une loi binomiale, les épreuves doivent être INDÉPENDANTES et avoir la même probabilité de succès.
L'astuce du prof
Astuce C'est précisément parce que σ(X) est grand pour un seul contrat que l'assurance mutualise un grand nombre de contrats indépendants : d'après la loi des grands nombres, la moyenne des sinistres observés sur un grand nombre de contrats se rapproche de l'espérance 60 €, ce qui permet de fixer une prime fiable malgré le hasard individuel.
Exercices corrigés
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Exercice 1
X vaut 0 avec p = 0,5 et 2 avec p = 0,5. Calcule E(X).
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E(X) = 0×0,5 + 2×0,5 = 1.
Exercice 2
On lance 10 fois une pièce équilibrée. Quelle loi suit le nombre de « pile » ?
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Une loi binomiale B(10 ; 0,5).