Au programme de ce chapitre
- I. Équations du second degré à coefficients réels
- II. Racines n-ièmes d'un nombre complexe
- III. Polynômes à coefficients réels et racines conjuguées
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Soit a = ρ eiφ un complexe non nul (ρ > 0) et n un entier ≥ 2. Les racines n-ièmes de a sont les solutions de l'équation zⁿ = a ; elles sont au nombre de n et valent zk = ρ1/n × ei(φ/n + 2kπ/n), pour k = 0, 1, …, n−1.
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Un exemple corrigé
Exemple Résolvons z² − 2z + 5 = 0. Δ = 4 − 20 = −16 < 0. On a √16 = 4, donc √(−Δ) = 4. Les solutions sont z1 = (2+4i)/2 = 1+2i et z2 = 1−2i. Vérification : (1+2i)² − 2(1+2i) + 5 = (1 + 4i − 4) − 2 − 4i + 5 = 0. ✓
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège. Dans ℂ, Δ < 0 ne veut pas dire « pas de solution » : il y a deux racines conjuguées.
Attention Ce résultat est faux si les coefficients de P ne sont pas tous réels : par exemple z − i = 0 admet i pour unique racine, et −i n'en est pas solution.
L'astuce du prof
Astuce. Un complexe non nul admet exactement n racines n-ièmes, régulièrement réparties.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1
Comment résoudre az²+bz+c=0 (réels) si Δ < 0 ?
Voir la correction
z = (−b ± i√(−Δ))/(2a) : deux complexes conjugués.
Exercice 2
Résous z² + 9 = 0.
Voir la correction
z² = −9, donc z = 3i ou z = −3i.