Au programme de ce chapitre
- I. Définition et infinité des nombres premiers
- II. Décomposition en produit de facteurs premiers
- III. Petit théorème de Fermat
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Un entier naturel p ≥ 2 est premier s'il admet exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Un entier ≥ 2 non premier est dit composé.
Un exemple corrigé
Exemple Décomposons 504 en facteurs premiers : 504 = 2×252 = 2×2×126 = 2×2×2×63 = 2³×63 = 2³×3×21 = 2³×3×3×7 = 2³×3²×7. On vérifie : 8×9×7 = 504.
Extrait du cours
Démonstration (Euclide). Supposons, par l'absurde, qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers p1, p2, …, pn. Considérons l'entier N = p1×p2×…×pn + 1. Comme N > 1, N admet au moins un diviseur premier q (tout entier ≥ 2 admet un diviseur premier). Or, pour chaque i, pi ne divise pas N : en effet pi divise le produit p1p2…pn, donc si pi divisait aussi N, il diviserait leur différence N − p1p2…pn = 1, ce qui est impossible car pi ≥ 2. Le nombre premier q est donc distinct de tous les pi, ce qui contredit l'hypothèse selon laquelle p1, …, pn étaient tous les nombres premiers. Cette contradiction prouve qu'il existe une infinité de nombres premiers. ∎
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège. 1 n'est PAS premier (il n'a qu'un diviseur). 2 est le seul nombre premier pair.
Attention L'hypothèse « p premier » est indispensable. Le petit théorème de Fermat est notamment à la base d'un test de primalité probabiliste (si an−1 n'est pas congru à 1 modulo n, alors n n'est pas premier), et intervient dans les fondements du chiffrement RSA utilisé en cryptographie.
L'astuce du prof
Astuce. Pour tester si n est premier, essaie les diviseurs premiers jusqu'à √n : inutile d'aller plus loin.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1
Décompose 60 en produit de facteurs premiers.
Voir la correction
60 = 2² × 3 × 5.
Exercice 2
18 est-il premier ?
Voir la correction
Non : 18 = 2 × 3², il a d'autres diviseurs que 1 et 18 ; 18 n'est pas premier.