Au programme de ce chapitre
- I. Argument et forme trigonométrique
- II. Forme exponentielle et formules d'Euler
- III. Application : racines n-ièmes de l'unité
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Définition Soit z un complexe non nul, d'affixe M dans un repère orthonormé direct (O ; u, v). On appelle argument de z, noté arg(z), toute mesure en radians de l'angle orienté (u, OM) ; il est défini modulo 2π, ce que l'on note arg(z) [2π]. En posant r = |z| et θ = arg(z), on obtient la forme trigonométrique de z : z = r(cos θ + i sin θ).
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Un exemple corrigé
Exemple Déterminons la forme trigonométrique de z = −1 − i√3. On a |z| = √(1+3) = 2, cos θ = −12 et sin θ = −√32, donc θ = −2π/3 [2π]. Ainsi z = 2(cos(−2π/3) + i sin(−2π/3)).
L'essentiel à retenir
- z = a + ib = r(cos θ + i sin θ) = r eiθ, avec r = |z| et θ = arg(z).
- Produit : modules × , arguments + . Quotient : modules : , arguments − .
- Moivre : (eiθ)n = einθ. Euler : eiθ = cos θ + i sin θ.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — se tromper d'argument. cos θ = a/|z| ne suffit pas (deux angles possibles) : je regarde aussi le signe de b, ou je place z dans le plan.
Piège — additionner les modules. Pour un produit, les modules se multiplient ; seuls les arguments s'ajoutent.
L'astuce du prof
Astuce. La forme exponentielle transforme les puissances et produits en simples opérations sur r et θ : c'est l'outil le plus rapide.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Module et argument
Donne le module et un argument de z = 1 + i.
Voir la correction
|z| = √(1 + 1) = √2 ; cos θ = sin θ = 1/√2, donc θ = π/4. Ainsi z = √2 eiπ/4.
Exercice 2 — Forme exponentielle
Écris z = 2i sous forme exponentielle.
Voir la correction
|z| = 2, argument π/2 (z est sur l'axe imaginaire positif) : z = 2 eiπ/2.