Au programme de ce chapitre
- I. Les intervalles
- II. Réunion et intersection
- III. La valeur absolue
- IV. Distance entre deux nombres
- Intervalles et valeur absolue
- Méthodes et pièges à éviter
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
La définition à retenir
Définition Un intervalle est un ensemble de nombres réels « d'un seul tenant ». [a ; b] est fermé (bornes comprises), ]a ; b[ ouvert (bornes exclues). On utilise ±∞ pour les demi-droites : [2 ; +∞[.
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Un exemple corrigé
Exemples −1 ≤ x < 3 s'écrit [−1 ; 3[. x ≥ 2 s'écrit [2 ; +∞[. x < 5 s'écrit ]−∞ ; 5[.
Lexique
- intervalle
- ensemble de réels d'un seul tenant
- valeur absolue
- distance à zéro, |x|
L'essentiel à retenir
- ≤/≥ → crochet fermé ; </> → ouvert ; ±∞ toujours ouvert.
- ∩ = partie commune ; ∪ = union des deux.
- |x| = distance à 0, toujours ≥ 0 ; |x − a| = distance entre x et a.
- |x − a| ≤ r ⇔ [a−r ; a+r] ; ≥ r ⇔ union de deux demi-droites.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — crochet ouvert / fermé. Point plein = borne comprise, point creux = borne exclue. ]2 ; 5] n'inclut pas 2 mais inclut 5.
Piège — « et » n'est pas « ou ». ∩ (« et ») garde le commun ; ∪ (« ou ») garde tout. Ne pas les intervertir.
Piège classique Devant +∞ ou −∞, le crochet est toujours ouvert : on écrit [2 ; +∞[ et jamais [2 ; +∞]. L'infini n'est pas un nombre, il ne peut pas être « atteint ».
L'astuce du prof
À retenir Fermé = borne comprise (≤, ≥) ; ouvert = borne exclue (<, >) ; l'infini est toujours ouvert.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Écrire sous forme d'intervalle
Écris : (a) −1 ≤ x < 4 ; (b) x ≥ 2 ; (c) x < 5.
Voir la correction
(a) [−1 ; 4[ ; (b) [2 ; +∞[ ; (c) ]−∞ ; 5[. L'infini prend toujours un crochet ouvert.
Exercice 2 — Intersection et réunion
Détermine [−1 ; 3] ∩ [0 ; 5] puis [−1 ; 0[ ∪ [0 ; 3].
Voir la correction
Intersection : partie commune = [0 ; 3]. Réunion : les deux morceaux se recollent en [−1 ; 3].