Au programme de ce chapitre
- I. La racine carrée d'un nombre positif
- II. Règles de calcul sur les racines
- III. Simplifier une racine carrée
- IV. Les puissances d'exposant entier
- V. Puissances de 10 et notation scientifique
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
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Un exemple corrigé
Exemple √0 = 0, √1 = 1, √4 = 2, √9 = 3, √16 = 4, √25 = 5. Et √2 ≈ 1,414 : ce n'est pas un nombre « rond », on le garde sous forme exacte √2.
Extrait du cours
Ce chapitre consolide deux outils de calcul omniprésents au lycée : la racine carrée, qui « défait » un carré, et les puissances, qui abrègent les produits répétés. Bien maîtriser leurs règles permet de simplifier des expressions, de calculer des longueurs (théorème de Pythagore) et de manipuler les grands et petits nombres en notation scientifique.
Lexique
- racine carrée √a
- le nombre positif dont le carré vaut a
- carré parfait
- carré d'un entier : 1, 4, 9, 16, 25…
- forme simplifiée
- a√b avec b minimal (√50 = 5√2)
- puissance an
- produit de n facteurs égaux à a
- notation scientifique
- a × 10n avec 1 ≤ a < 10
L'essentiel à retenir
- √a est le nombre positif tel que (√a)² = a ; √(a²) = |a|.
- √(a×b) = √a × √b et √(ab) = √a/√b, mais √(a+b) ≠ √a + √b.
- Simplifier = sortir le plus grand carré parfait : √50 = 5√2.
- Puissances : am×an = am+n, (am)n = amn, a−n = 1/an, a0 = 1.
- Notation scientifique : a × 10n avec 1 ≤ a < 10.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — la racine d'une somme La racine carrée ne se « distribue » pas sur l'addition : √(a + b) ≠ √a + √b. Contre-exemple : √(9 + 16) = √25 = 5, alors que √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Les deux résultats sont différents.
Piège — « sortir » un nombre qui n'est pas un carré. Dans √18, je ne sors que le carré parfait (9) : √18 = 3√2, je ne sors pas 18 lui-même.
À savoir
- On ne peut pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif : √(−4) n'existe pas (en seconde).
- √a n'est pas « la moitié » de a : √16 = 4, pas 8.
L'astuce du prof
Astuce Si tu ne vois pas tout de suite le plus grand carré, sors-en un petit et recommence : √72 = √(4×18) = 2√18 = 2√(9×2) = 2×3√2 = 6√2. On arrive au même résultat.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Simplifier des racines
Écris sous la forme a√b : √48, √200, √75.
Voir la correction
√48 = √(16×3) = 4√3 ; √200 = √(100×2) = 10√2 ; √75 = √(25×3) = 5√3.
Exercice 2 — Produits et quotients de racines
Calcule √8 × √2, puis √45 / √5.
Voir la correction
√8 × √2 = √16 = 4. √45 / √5 = √(455) = √9 = 3.