Au programme de ce chapitre
- I. Les grands ensembles
- II. Inclusions
- III. Nombres irrationnels
- IV. Appartenance
- Les ensembles de nombres
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
La définition à retenir
Définitions ℕ : entiers naturels (0,1,2…). ℤ : entiers relatifs. ℚ : rationnels (fractions). ℝ : réels (tous les nombres de la droite).
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Un exemple corrigé
Exemple −3 ∈ ℤ ; 23 ∈ ℚ ; √2 ∈ ℝ mais √2 ∉ ℚ ; 5 ∈ ℕ.
Extrait du cours
Les nombres se classent dans des ensembles emboîtés, du plus simple au plus large.
On distingue : les entiers naturels ℕ, les entiers relatifs ℤ, les décimaux 𝔻, les rationnels ℚ (quotients d'entiers) et les réels ℝ. Ils sont emboîtés : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Certains réels, comme √2 ou π, ne sont pas rationnels : ce sont des irrationnels.
Lexique
- ℕ, ℤ, ℚ, ℝ
- naturels, relatifs, rationnels, réels
- irrationnel
- réel non rationnel (√2, π)
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège. Crochet fermé [ ] = borne incluse ; crochet ouvert ] [ = borne exclue. L'infini est toujours « ouvert » : ]−∞ ; 3].
L'astuce du prof
Astuce. Place le nombre sur une droite graduée pour décider : un nombre à virgule qui « se termine » est décimal ; s'il tombe juste sur une graduation entière, il est entier.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1
À quels ensembles appartient le nombre 7 ? Et le nombre −3/4 ?
Voir la correction
7 est un entier naturel : 7 ∈ ℕ, donc aussi ∈ ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ. −3/4 est un rationnel non décimal ? Non, −0,75 est décimal : −3/4 ∈ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ, mais −3/4 ∉ ℤ.
Exercice 2
Traduire −1 ≤ x < 4 en intervalle et donner un entier qui convient.
Voir la correction
L'intervalle est [−1 ; 4[. Un entier qui convient : 0, 1, 2 ou 3 (mais pas 4, exclu).