Au programme de ce chapitre
- 1. Fonction convexe, concave
- 2. Lien avec la dérivée seconde
- 3. Point d'inflexion
- Convexité et point d'inflexion
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
La définition à retenir
Convexe. Une fonction est convexe si sa courbe est située au-dessous de chacune de ses cordes (et au-dessus de ses tangentes). Elle est concave dans le cas inverse.
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Un exemple corrigé
Exemple. f(x) = x³ : f '(x) = 3x², f ''(x) = 6x. f '' < 0 avant 0 (concave), > 0 après (convexe) : l'origine est un point d'inflexion.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège. Point d'inflexion : f″ ne s'annule pas simplement, elle change de signe.
L'astuce du prof
Astuce. Convexe : f″ ≥ 0 (courbe au-dessus des tangentes) ; concave : f″ ≤ 0.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1
Que vaut f″ pour f convexe ?
Voir la correction
f″ ≥ 0.
Exercice 2
Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?
Voir la correction
Un point où la courbe change de convexité.