Au programme de ce chapitre
- 1. La fonction composée
- 2. Dérivée d'une composée
- Dérivée d'une fonction composée
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
- À retenir
La définition à retenir
Composée. Appliquer u puis v définit la fonction composée v ∘ u : x ⟼ v(u(x)). On « emboîte » une fonction dans une autre.
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Un exemple corrigé
Exemple. f(x) = (3x + 1)⁵. Avec u = 3x + 1 (u' = 3) : f '(x) = 3 × 5(3x + 1)⁴ = 15(3x + 1)⁴.
Extrait du cours
On enrichit la boîte à outils de la dérivation avec la règle la plus puissante : celle de la fonction composée, qui permet de dériver des expressions emboîtées comme (3x + 1)⁵ ou e−x².
La fonction composée g∘f applique f puis g. Sa dérivée est (g∘f)'(x) = f '(x) × g'(f(x)). En particulier, (eu)' = u'·eu et (√u)' = u'/(2√u). Cette règle est essentielle pour dériver les expressions complexes.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège. L'erreur classique : oublier le facteur u′ dans la dérivée d'une composée.
Ne pas oublier de multiplier par u' : c'est l'erreur la plus courante dans la dérivation des composées.
L'astuce du prof
Astuce. Récite « dérivée de l'extérieur × dérivée de l'intérieur ».
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1
Dérivée de (2x+3)⁴ ?
Voir la correction
4(2x+3)³ × 2 = 8(2x+3)³.
Exercice 2
Formule de (eᵘ)′ ?
Voir la correction
u′ eᵘ.