Au programme de ce chapitre
- 1. Règles opératoires
- 2. Les quatre formes indéterminées
- 3. Croissances comparées
- Opérations et formes indéterminées
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
Un exemple corrigé
Exemple. lim (3n² − 5n) en +∞ : forme ∞ − ∞. On factorise : 3n²(1 − 53n). Comme n² → +∞ et la parenthèse → 1, la limite est +∞.
Extrait du cours
Pour calculer la limite d'une expression, on combine les limites de ses morceaux à l'aide de règles — sauf dans quatre cas « piégés », les formes indéterminées, qui exigent une transformation préalable.
Les limites se combinent (somme, produit, quotient), mais certaines combinaisons donnent des formes indéterminées : « ∞ − ∞ », « 0 × ∞ », « ∞/∞ », « 00 ». Il faut alors transformer l'expression (factoriser, simplifier) pour lever l'indétermination.
L'essentiel à retenir
- Quatre formes indéterminées : ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞ sur ∞, 0 sur 0.
- Polynôme en ±∞ : limite du terme de plus haut degré.
- Fonction rationnelle en ±∞ : on compare les termes de plus haut degré.
- Croissances comparées : l'exponentielle l'emporte sur les puissances, qui l'emportent sur le logarithme.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — les quatre formes indéterminées. ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞ sur ∞ et 0 sur 0 ne se « calculent » pas directement : il faut transformer l'expression (factoriser, simplifier, conjuguer).
Piège — négliger le signe. En −∞, x³ → −∞ mais x² → +∞ : je surveille la parité de l'exposant du terme dominant.
Formes indéterminées. « +∞ − ∞ », « 0 × ∞ », « ∞ / ∞ » et « 00 ». Dans ces cas, on ne peut pas conclure directement : il faut transformer l'expression.
L'astuce du prof
Astuce. Pour une fonction rationnelle en ±∞, je compare les degrés : haut < bas → limite 0 ; haut = bas → quotient des coefficients ; haut > bas → ±∞.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Polynôme
Déterminer la limite de −x³ + 100x en +∞.
Voir la correction
Terme dominant −x³ → −∞. Donc la limite est −∞ (le 100x ne pèse rien devant x³).
Exercice 2 — Fonction rationnelle
Limite de 5x² − 32x² + x en +∞.
Voir la correction
Comportement en 5x²/(2x²) = 52. La limite est 52 (asymptote horizontale y = 2,5).