Au programme de ce chapitre
- 1. Schéma de Bernoulli
- 2. Calcul des probabilités
- 3. Espérance et écart-type
- La loi binomiale
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
La définition à retenir
Schéma de Bernoulli. C'est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune avec une probabilité de succès p.
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Un exemple corrigé
Exemple. On lance 4 fois une pièce équilibrée (p = 0,5). P(exactement 2 piles) = « 2 parmi 4 » × 0,5² × 0,5² = 6 × 0,0625 = 0,375.
Extrait du cours
Répéter n fois, de manière indépendante, une même épreuve de Bernoulli (succès/échec) et compter les succès conduit à la loi binomiale, l'une des lois de probabilité les plus utiles en statistiques et en sciences.
Lorsqu'on répète n fois, de façon indépendante, une épreuve à deux issues (succès de probabilité p / échec), le nombre de succès X suit la loi binomiale B(n ; p). Son espérance est E(X) = np. On calcule P(X = k) = C(n,k)·pk·(1−p)n−k.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège. Pour une loi binomiale, les épreuves doivent être INDÉPENDANTES et de même probabilité p.
L'astuce du prof
Astuce. Vérifie les conditions de Bernoulli avant d'appliquer B(n,p) : 2 issues, indépendance, même p.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1
On lance 10 fois une pièce. Quelle loi suit le nombre de piles ?
Voir la correction
B(10 ; 0,5).
Exercice 2
Espérance d'une loi B(10 ; 0,5) ?
Voir la correction
E(X) = n·p = 10×0,5 = 5.