Au programme de ce chapitre
- 1. Primitives
- 2. Équations différentielles
- 3. Applications physiques
- Primitives et équations différentielles
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
La définition à retenir
Primitive. F est une primitive de f sur un intervalle si F ' = f. Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante : si F en est une, toutes s'écrivent F + C.
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Un exemple corrigé
Exemple. Les primitives de f(x) = 3x² + 2 sont F(x) = x³ + 2x + C.
Extrait du cours
Chercher une primitive, c'est faire l'opération inverse de la dérivation : retrouver une fonction à partir de sa dérivée. C'est l'étape qui mène au calcul intégral et à la résolution des équations différentielles, omniprésentes en physique.
Une primitive F de f vérifie F ' = f. Toutes les primitives d'une fonction diffèrent d'une constante. Une équation différentielle relie une fonction et ses dérivées ; l'équation y' = ay a pour solutions y = C·eax.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège. N'oublie pas la constante + C pour une primitive générale, et la constante C dans la solution d'une équation différentielle.
L'astuce du prof
Astuce. Pour vérifier une primitive ou une solution, dérive-la : tu dois retrouver f (ou l'équation de départ).
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1
Donne une primitive de f(x) = e^x + 2x.
Voir la correction
F(x) = e^x + x² + C (car (e^x)′ = e^x et (x²)′ = 2x).
Exercice 2
Résous l'équation différentielle y′ = 3y.
Voir la correction
Solutions : y = C·e^{3x} (C réel).