Au programme de ce chapitre
- 1. Produit scalaire dans l'espace
- 2. Vecteur normal et équation d'un plan
- 3. Applications
- Produit scalaire dans l'espace
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
La définition à retenir
Vecteur normal à un plan. C'est un vecteur orthogonal à tous les vecteurs du plan.
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Un exemple corrigé
Exemple. Le plan passant par A(1 ; 0 ; 2) de normale n(1 ; 2 ; −1) : 1(x−1) + 2(y−0) − 1(z−2) = 0, soit x + 2y − z + 1 = 0.
Extrait du cours
Le produit scalaire se généralise à l'espace et donne, là encore, un critère d'orthogonalité très simple. Il permet de calculer des angles, des distances et d'obtenir l'équation cartésienne d'un plan.
Le produit scalaire s'étend à l'espace : u·v = xx' + yy' + zz'. Il vaut 0 si et seulement si les vecteurs sont orthogonaux. On l'utilise pour trouver un vecteur normal à un plan et déterminer l'équation d'un plan.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège. Dans l'espace, le produit scalaire a TROIS termes (xx'+yy'+zz') ; n'oublie pas la coordonnée z.
L'astuce du prof
Astuce. Le vecteur normal (orthogonal au plan) est l'outil clé pour les équations de plans et les distances.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1
Produit scalaire de (1;2;3) et (2;0;−1) ?
Voir la correction
1×2 + 2×0 + 3×(−1) = 2 + 0 − 3 = −1.
Exercice 2
Qu'est-ce qu'un vecteur normal à un plan ?
Voir la correction
Un vecteur orthogonal au plan (à tous ses vecteurs directeurs).