Au programme de ce chapitre
- I. Multiples et diviseurs
- II. Les critères de divisibilité
- III. Nombres premiers
- IV. Chercher les diviseurs
- Reconnaître multiples et diviseurs
- Méthodes et pièges à éviter
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
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Un exemple corrigé
Exemple 24 = 4 × 6 : 24 est un multiple de 4 et de 6 ; 4 et 6 sont des diviseurs de 24.
Extrait du cours
Les multiples et les diviseurs permettent de comprendre comment les nombres entiers sont « construits » les uns à partir des autres. Ils servent notamment à simplifier les fractions.
Un nombre entier a est un multiple de b si a est dans la table de b (ex : 15 est un multiple de 3). On dit aussi que b est un diviseur de a. Des critères de divisibilité accélèrent les calculs : un nombre est divisible par 2 s'il est pair, par 5 s'il se termine par 0 ou 5, par 10 s'il se termine par 0, par 3 ou 9 si la somme de ses chiffres l'est.
Lexique
- multiple
- résultat de a × un entier
- diviseur
- divise sans reste
- nombre premier
- exactement deux diviseurs
L'essentiel à retenir
- a = b×k : a multiple de b, b diviseur de a (reste 0).
- Critères : 2 (unités paires), 5 (0 ou 5), 3 et 9 (somme des chiffres), 4 (deux derniers chiffres).
- Les diviseurs se cherchent par paires.
- 1 divise tout ; tout nombre est multiple de 1 et de lui-même.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — confondre multiple et diviseur. 3 est un diviseur de 12 ; 12 est un multiple de 3. Je relis la phrase « a est un multiple de b » : le grand est multiple du petit.
Piège — s'arrêter trop tôt en listant les diviseurs. Je cherche par paires jusqu'à ce que les deux facteurs se rejoignent (pour 48, je m'arrête à 6×8).
À savoir
- 1 et le nombre lui-même sont toujours des diviseurs de n'importe quel entier.
- 0 est un multiple de tous les nombres, mais on ne divise jamais par 0.
L'astuce du prof
À retenir a multiple de b ⇔ b diviseur de a ⇔ la division de a par b tombe juste (reste 0).
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Appliquer les critères
720 est-il divisible par 2, 3, 5, 9 ?
Voir la correction
Par 2 : oui (unités 0). Par 5 : oui (unités 0). Somme 7+2+0 = 9 : divisible par 3 et par 9. Donc par 2, 3, 5 et 9.
Exercice 2 — Multiples
Donne les multiples de 7 compris entre 30 et 60.
Voir la correction
35, 42, 49, 56 (soit 7×5, 7×6, 7×7, 7×8).