Au programme de ce chapitre
- 1. Problèmes d'optimisation
- 2. Lien avec la physique
- 3. Modélisation
- Dérivation et optimisation
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
Un exemple corrigé
Exemple. On veut un rectangle de périmètre 20 d'aire maximale. Si un côté vaut x, l'autre vaut 10 − x, et l'aire est A(x) = x(10 − x) = 10x − x². A'(x) = 10 − 2x, nulle en x = 5. L'aire est maximale pour x = 5 (un carré 5×5, aire 25).
Extrait du cours
La dérivation n'est pas qu'un exercice formel : elle sert à optimiser. Trouver le volume maximal d'une boîte, le coût minimal d'une production, la trajectoire la plus efficace — tous ces problèmes se résolvent en cherchant où la dérivée s'annule.
La dérivation permet de résoudre des problèmes d'optimisation : pour trouver un maximum (aire, volume, bénéfice) ou un minimum (coût), on dérive la fonction, on étudie le signe de la dérivée, et on repère l'extremum.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège. Un f′ qui s'annule ne donne un extremum QUE s'il change de signe ; vérifie-le dans le tableau de variations.
L'astuce du prof
Astuce. Démarche d'optimisation : modéliser → dériver → tableau de variations → interpréter l'extremum.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1
Pour optimiser une aire, quelle démarche suivre ?
Voir la correction
Exprimer l'aire par une fonction, la dériver, étudier le signe de f′ pour trouver le maximum.
Exercice 2
f(x) = -x² + 4x. Où est son maximum ?
Voir la correction
f′(x) = -2x + 4, nulle en x = 2 ; f′ change de + à − : maximum en x = 2, f(2)=4.