Au programme de ce chapitre
- 1. Le théorème fondamental
- 2. Extremums locaux
- 3. Démarche complète
- Du signe de la dérivée aux variations
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
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Un exemple corrigé
Exemple. f(x) = x² − 4x + 1. f '(x) = 2x − 4, nulle en x = 2. f ' < 0 avant 2, > 0 après : minimum en x = 2, où f(2) = −3.
Extrait du cours
Le lien fondamental du programme : le signe de la dérivée donne le sens de variation de la fonction. Dériver, étudier le signe de f ', puis en déduire le tableau de variations — c'est la démarche centrale de l'analyse au lycée.
Le signe de la dérivée donne les variations de la fonction : si f ' > 0 sur un intervalle, f y est croissante ; si f ' < 0, f est décroissante. Là où f ' s'annule en changeant de signe, f présente un extremum (maximum ou minimum).
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège. f′ qui s'annule ne donne un extremum QUE si elle change de signe : sinon (ex. x³ en 0), ce n'est pas un extremum.
f '(x₀) = 0 ne suffit pas pour un extremum : il faut un changement de signe. Par exemple x³ a une dérivée nulle en 0 sans extremum.
L'astuce du prof
Astuce. Construis le tableau de variations en deux lignes : signe de f′, puis flèches de variation de f.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1
f(x) = x² − 4x. Étudie ses variations.
Voir la correction
f′(x) = 2x − 4, nulle en x = 2. f′ < 0 avant 2 (décroissante), f′ > 0 après (croissante) : minimum en x = 2.
Exercice 2
Que vaut f(2) pour f(x) = x² − 4x ?
Voir la correction
f(2) = 4 − 8 = −4 (valeur du minimum).