Au programme de ce chapitre
- 1. Plusieurs définitions équivalentes
- 2. Le critère d'orthogonalité
- 3. Propriétés de calcul
- Le produit scalaire
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
- Pièges fréquents et astuces
La définition à retenir
Avec l'angle. u · v = ‖u‖ × ‖v‖ × cos θ, où θ est l'angle entre les deux vecteurs.
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Un exemple corrigé
Exemple. u(2 ; 3) et v(−3 ; 2) : u · v = 2×(−3) + 3×2 = −6 + 6 = 0. Les deux vecteurs sont orthogonaux.
Extrait du cours
Le produit scalaire est une opération qui, à deux vecteurs, associe un nombre. Il mesure à quel point deux vecteurs « pointent dans la même direction » et donne un critère de perpendicularité d'une simplicité remarquable.
Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre. Dans un repère orthonormé, u·v = x·x' + y·y'. Il vaut aussi ‖u‖·‖v‖·cos(θ), où θ est l'angle entre les vecteurs. Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège. Produit scalaire nul ⇔ orthogonalité (pas colinéarité).
Le résultat d'un produit scalaire est un nombre, pas un vecteur. Ne pas le confondre avec les coordonnées d'un vecteur.
L'astuce du prof
Astuce. Deux formules : coordonnées (xx'+yy') ou norme-angle (‖u‖‖v‖cosθ).
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1
Produit scalaire de (3;1) et (2;4) ?
Voir la correction
3×2 + 1×4 = 10.
Exercice 2
Si u·v = 0, que dire des vecteurs ?
Voir la correction
Ils sont orthogonaux.