Au programme de ce chapitre
- I. Diviseurs et divisibilité
- II. Les nombres premiers
- III. Décomposition en produit de facteurs premiers
- IV. Application : rendre une fraction irréductible
- Méthodes et pièges à éviter
- Savoir-faire
- Exercices types corrigés
- Teste-toi — vrai ou faux ?
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Un exemple corrigé
Exemple 171 : la somme des chiffres est 1+7+1 = 9, divisible par 9, donc 171 est divisible par 9 (171 = 9 × 19). Il est aussi divisible par 3.
Lexique
- diviseur
- entier qui divise un autre sans reste
- multiple
- résultat de la multiplication d'un entier par un autre
- nombre premier
- entier ayant exactement deux diviseurs (1 et lui-même)
- décomposition
- écriture d'un nombre en produit de facteurs premiers
- irréductible
- fraction qu'on ne peut plus simplifier
L'essentiel à retenir
- Premier = exactement deux diviseurs (1 et lui-même) ; 1 n'est pas premier.
- Tout entier > 1 se décompose en produit de facteurs premiers, de façon unique.
- PGCD : facteurs premiers communs, chacun à la plus petite puissance.
- Une fraction est irréductible quand numérateur et dénominateur n'ont plus de facteur commun.
Les erreurs fréquentes à éviter
Piège — oublier que 1 n'est pas premier. Un premier a exactement deux diviseurs. 1 n'en a qu'un, il est donc exclu.
Piège — s'arrêter avant d'avoir que des premiers. La décomposition se poursuit tant qu'un facteur n'est pas premier : 2×2×9 n'est pas fini, 9 = 3×3.
Pièges fréquents
- 1 n'est pas premier ; 2 est le seul nombre premier pair.
- La décomposition en facteurs premiers est unique : on tombe toujours sur les mêmes facteurs.
L'astuce du prof
À retenir b divise a ⇔ le reste de la division de a par b est 0 ⇔ a est un multiple de b.
Exercices corrigés
Cherche d'abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Premier ou non ?
Les nombres 51, 53 et 57 sont-ils premiers ?
Voir la correction
53 est premier. 51 = 3×17 et 57 = 3×19 ne le sont pas (somme des chiffres multiple de 3).
Exercice 2 — Décomposition
Décompose 360 en produit de facteurs premiers.
Voir la correction
360 = 2×180 = 2×2×90 = 2³×45 = 2³×3²×5.